Ammortamento a rate anticipate

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1leftarrow.pngVoce principale: ammortamento.

L'ammortamento a rate anticipate prevede che il pagamento di ciascuna rata (supposto che le rate siano equintervallate ed n sia il numero di periodi previsti per l'ammortamento) venga pagato all'inizio del periodo corrispondente alla rata (mensile, trimestrale, annuale).

Sia k= 0, 1, 2, ..., n-1 uno degli n periodi, si ha che la quota della rata R_k al periodo k è pari alla somma di una quota d'interessi I_k e di una quota di capitale C_k:

R_k=C_k+I_k

mentre

R_n=0.

Per l'attualizzazione delle rate deve essere soddisfatto il vincolo di equivalenza finanziaria:

S=\sum_{k=0}^{n-1}R_k(1+i)^ {-k}

È prassi finanziaria valutare il debito residuo immediatamente prima delle rate in scadenza. Quindi sia k il periodo in considerazione e D_k ^{-} il debito residuo valutato subito prima dell'inizio di tale periodo si ha:


D_k ^{-}=\sum_{j=k}^{n-1}C_j   per k= 0, 1, 2, ..., n-1

D_k ^{-}=0  per k= n


ovvero (scrivendo il debito in funzione dell'intero importo S ):


D_k ^{-}=S    per k=0

D_k ^{-}=S-\sum_{j=0}^{k-1}C_j   per k= 1, 2, ..., n-1

D_k ^{-}=0   per k=n

Si noti che D_k ^{-}=D_{k-1} vale a dire che il debito residuo calcolato immediatamente prima del pagamento della rata in scadenza nel periodo k coincide con il debito residuo calcolato immediatamente dopo il pagamento della rata che scade nel periodo k-1.

Ne deriva che subito prima che il prestito venga erogato si ha D_0 ^{-}=S, di conseguenza all'inizio del prestito (k=0) la somma ricevuta dal debitore è già detratta della prima rata, quindi il debitore riceve una somma pari a S- R_0.

La quota interessi che viene pagata in ciascun periodo k si riferisce agli interessi relativi al periodo k,k+1] ed è proporzionale al debito residuo del periodo D_k (che coincide con D_{k+1}^{-} ).


I_k=D_ki(1+i)^{-1}=dD_k=dD_{k+1}^{-} con d = i / (i+1) e k = 0, 1, 2,..., n-1


Considerando le tre seguenti equazioni (gia' definite sopra):

D_{k+1}^{-}=D_k^--C_k

I_k=dD_{k+1}^-

R_k=C_k+I_k

si può mettere in relazione debito residuo e rate secondo quanto segue:

D_{k+1}^- = D_{k}^--C_k = D_{k}^--R_k+I_k = D_{k}^--R_k+dD_{k+1}^-

da cui si ottiene

D_{k+1}^-(1-d)= D_{k}^--R_k

considerando 1 - d = 1 - i / (1+i) = 1 / (1+i) = v, si ha la relazione voluta:


R_k=D_{k}^--vD_{k+1}^-.

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