Costante di Boltzmann

Valori di k	Unità
1,3806488(13) · 10−23	J K−1
8.6173324(78) · 10−5	eV K−1
1,3806488(13) · 10−16	erg K−1

In meccanica statistica la costante di Boltzmann, k_B (in molti testi viene anche indicata con κ) è il rapporto fra la costante universale dei gas e il numero di Avogadro:

$k_\mathrm{B} = \frac{R}{N_\mathrm{A}}$

Quindi le unità di misura con cui viene espressa nel sistema internazionale sono i J/K, le stesse unità dell'entropia e della capacità termica. Il valore raccomandato dal CODATA nel 2010 è:

$k_\mathrm{B} = 1{,}380\,6488\left( 24 \right)\times10^{-23} \mathrm{\ J\,K^{-1}}$

il valore riportato tra parentesi sta a indicare la deviazione standard. La sua importanza venne evidenziata da Boltzmann e oggi compare sulla tomba come epitaffio, mentre il nome in suo onore le fu dato da Planck.

Val la pena segnalare due casi in cui compare questa costante, nel primo si mostra come permetta di mettere in relazione l'energia con la temperatura, mentre nel secondo ci si limita a segnalare la definizione statistica di entropia.

Il teorema di equipartizione dell'energia afferma che se i gradi di libertà di una molecola (per molecola si intende un generico sistema microscopico) sono f, allora in un sistema macroscopico costituito da tali molecole, in condizioni di equilibrio alla temperatura T, l'energia media delle molecole è data da

$\langle E \rangle = \frac{f}{2}\, k_\mathrm{B} \, T$

Per esempio in un gas atomico alla temperatura T, l'energia media degli atomi è

$\langle E \rangle = \frac{3}{2}\, k_\mathrm{B} \, T$

dove:

• $\langle E \rangle$ è il valore medio dell'energia cinetica di una molecola di gas
• $T$ è la temperatura assoluta.

poiché in quel caso gli unici gradi di libertà saranno i tre traslazionali. Questa stessa espressione può essere ricavata dalla teoria cinetica dei gas.
Si nota quindi che la costante di Boltzmann è la costante di proporzionalità tra la temperatura e l'energia media di una molecola. Questo teorema è valido solo nei casi in cui non vi è quantizzazione dell'energia o in quelli in cui è trascurabile, cioè quando la separazione dei livelli energetici è notevolmente inferiore a kT.

Questa deriva immediatamente dall'equazione di stato dei gas perfetti

$p\, V = \frac{N}{N_\mathrm{A}} \, R \, T$

dove $N$ è il numero delle molecole, e dalla relazione

$p \, V= \frac{2}{3} \, N \, \langle E \rangle$

A sua volta, quest'ultima equazione si giustifica come segue.

La pressione esercitata da un gas su una parete di un recipiente cubico di lato l è data da

$p =\frac{\sum_{k=1}^{N/3}f_k}{l^2} =\frac{\sum_{k=1}^{N/3}\Delta p_k/\Delta t}{l^2}$

dove $f_k$ è la forza esercitata da una molecola che urta la parete subendo un cambiamento di impulso $\Delta p_k$ in un tempo $\Delta t$.

Siano $m_k , v_k$ la massa e la velocità della generica molecola. Allora

$\Delta p_k = 2 \, m_k \, v_k$

e

$\Delta t = 2 \, l/v_k$.

Sostituendo questi valori nell'ultima espressione si arriva alla tesi, poiché:

$\sum_{k=1}^{N/3}m_k \, v_k^2/2=N\, \langle E \rangle / 3$.

In meccanica statistica l'entropia viene definita come il logaritmo naturale di Ω, il numero di microstati coerenti con le condizioni al contorno del sistema:

$S = k_\mathrm{B} \, \ln \Omega$

La costante di proporzionalità è ancora k. Questa equazione, che relaziona i dettagli microscopici del sistema con il suo stato macroscopico, è l'idea centrale della meccanica statistica.

Bibliografia

• Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10^a ed., CEA, 1996. ISBN 88-408-0998-8

Portale Meccanica

Portale Termodinamica