Equazione di campo di Einstein

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L'equazione di campo di Einstein è il risultato finale della teoria della relatività generale, sviluppata da Albert Einstein nel 1915.

Essa descrive la curvatura dello spaziotempo in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia.

L'equazione di campo è stata al centro di una polemica di priorità tra Einstein e il matematico David Hilbert, risolta solo recentemente a favore di Einstein[1].

Equazionemodifica | modifica sorgente

Nella forma con la costante cosmologica, l'equazione di campo è

R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8  \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}

dove:

Il tensore g_{\mu \nu} descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4x4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le identità di Bianchi, le equazioni indipendenti si riducono a 6.

Altre equazioni di campomodifica | modifica sorgente

L'equazione di campo indicata da Einstein non è l'unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell'accoppiamento tra materia/energia e curvatura.

I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta di Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker, o FLRW. L'assunto che l'universo sia isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.

Contrazione o espansione dell'universomodifica | modifica sorgente

Trascurando temporaneamente la costante cosmologica Λ e utilizzando unità di misura per cui c sia pari ad uno, se supponiamo che l'universo a grande scala sia isotropo ed omogeneo, è possibile ridurre l'equazione tensoriale all'equazione differenziale

\left ( \frac {R'}{R} \right ) ^2 + \frac k {R^2}=\frac {8 \pi G} 3 \rho

dove R è il fattore di scala (che se l'universo è chiuso ne rappresenta il raggio), R' la sua velocità di variazione, ρ la densità media dell'universo e k la curvatura (positiva, negativa o nulla). Risulta dunque facile, ponendo k=0, calcolare la densità critica dell'universo, per cui risulta:

\rho= \frac {3 {R'}^2 } {8 \pi G R^2}

Naturalmente la debolezza di questa formula è che le condizioni non autorizzano a considerare k=0; la curvatura dell'universo è presumibilmente diversa da 0senza fonte, altrimenti ci si dovrebbe figurare un universo cubico o piatto. Se la curvatura è maggiore di 0, l'universo si ricontrarrà, se pari o inferiore si espanderà per sempre. In questo tipo di universo la distanza tra due punti è data dalla metrica di Robertson - Walker.

Reintroducendo la costante cosmologica, essa si comporta a tutti gli effetti come una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio, di conseguenza è possibile riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: l'una rappresentata dalla materia, osservabile ed oscura; l'altra da una forma di energia "non visibile", identificabile con la costante cosmologica.

Il termine Λ venne introdotto ad hoc da Einstein per permettere un universo statico, in quanto la sua teoria prevedeva un universo dinamico (o in contrazione o in espansione), inconcepibile per quei tempi. Nei dieci anni successivi, le osservazioni di Edwin Hubble confermarono l'espansione dell'universo,ed il termine Λ venne omesso (lo stesso Einstein ne giudicò l'introduzione il suo più grande errore). Sembra però che egli fosse "condannato" ad avere in qualche modo ragione. Infatti, così come per la teoria dei quanti, che contribuì a fondare, ma ritenne sempre non soddisfacente, anche la costante cosmologica si è riaffermata: nel 1998 l'osservazione dello spostamento verso il rosso di supernovæ lontane ha spinto gli astronomi a introdurre l'idea di una costante cosmologica per spiegare l'accelerazione dell'espansione dell'universo. Come quella individuata da Einstein, anche la versione aggiornata svolge il ruolo di forza antigravitazionale su larga scala, rappresentata dall'energia oscura, per la quale le ipotesi più accreditate sono l'energia del vuoto e la quintessenza.

Dal momento che le più recenti osservazioni[2] indicano che la densità dell'universo è molto vicina alla densità critica e che la densità di energia della materia globalmente intesa è stimata essere soltanto il 30% circa di tale valore, la costante cosmologica, qualora dimostrata e quantificata, permetterà di prevedere il destino ultimo dell'universo. Trovare pertanto conferme della sua esistenza, identificarne la natura e quantificarla con esattezza sono importanti campi d'indagine per la cosmologia.

Soluzioni delle equazioni di campomodifica | modifica sorgente

Le soluzioni particolari dell'equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra le quali:

  • l'universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
  • il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell'universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
  • la soluzione di Lemaitre, una prima rozza formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall'esplosione di un "atomo primordiale" da cui ha avuto origine l'universo.

Voci correlatemodifica | modifica sorgente

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  1. ^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science n. 278, 14 novembre 1997
  2. ^ In particolare misurazioni della radiazione cosmica di fondo effettuate dal satellite WMAP, lanciato nel 2001, indicano che l'universo è molto vicino ad una curvatura nulla
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