Funzione tau sui positivi

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I primi 250 valori della funzione τ

In matematica la funzione tau sui positivi o funzione dei divisori, è una funzione che associa ad ogni numero intero positivo il numero dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso, viene solitamente indicata con \operatorname{\tau}(n) o \operatorname{d}(n),

La funzione vale 1 per 1, 2 per tutti i numeri primi e un valore maggiore di 2 per tutti gli altri interi positivi.

È una funzione moltiplicativa; dato n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k} (dove questa è la fattorizzazione di n in numeri primi), la si può calcolare con la formula

\tau(n)=(q_1+1)(q_2+1)\cdots (q_k+1)

Segue una tabella dei valori di tau per i primi 20 numeri interi positivi:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
τ(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
τ(n) 2 6 2 4 4 5 2 5 2 6

Proprietàmodifica | modifica sorgente

La funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d\left(n\right)}{n^s}=\zeta\left(s\right)^2.

Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha d\left(n\right)=\sigma_0\left(n\right). In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1-x^n}=\sum_{n=1}^{\infty}d\left(n\right)x^n.

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