Quadratura del cerchio

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Un cerchio e la sua "quadratura", hanno la stessa area

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica (più precisamente della geometria) greca, il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.

Storia e descrizione del problemamodifica | modifica sorgente

Il problema risale alle origini della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.

Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero \sqrt{\pi} (infatti l'area del cerchio è  \pi r^2, quindi un quadrato con area  \pi r^2 deve avere lato pari a r\sqrt{\pi}). L'impossibilità di una tale costruzione, con le limitazioni imposte dall'uso esclusivo di riga e compasso, deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La trascendenza di π fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882.

La soluzione del problema della quadratura del cerchio con riga e compasso implicherebbe quindi trovare anche un valore algebrico per π - il che si è dimostrato impossibile dopo il lavoro di Lindemann. Ciò non implica invece che sia impossibile costruire un quadrato la cui area approssimi molto da vicino quella del cerchio dato, ad esempio si può costruire un lato di 39/22=1.7727..., che è una buona approssimazione di \sqrt{\pi}=1.7724....

La "quadratura del cerchio" come metaforamodifica | modifica sorgente

Nel 1882 Ferdinand von Lindemann pubblicò la dimostrazione della trascendenza di pi greco. Precedentemente egli aveva già dimostrato che se pi greco fosse stato trascendente, allora l'antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso sarebbe stato irrisolvibile. Fino a quel momento erano stati innumerevoli i tentativi della quadratura matematica del cerchio, tanto che l'espressione era (ed è) diventata sinonimo di un'impresa vana, senza speranza o priva di un significato concreto.
In senso meramente letterario, l'espressione "quadratura del cerchio", viene spesso usata per indicare la soluzione perfetta a un dato problema (anche se, come abbiamo visto, non esiste).

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