Sistema dinamico lineare

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Un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare, e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Tale classe di sistemi dinamici può essere risolta in modo esatto.

Un sistema fisico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Affinché un processo possa essere rappresentato, esso deve essere osservato e su di esso devono potersi effettuare operazioni. In via del tutto generale si può descrivere un processo fisico come studio di una sollecitazione applicata ad un sistema che fornisce una risposta. Supponendo la sola dipendenza da una variabile temporale, sia \mathbf{u}_{in}(t) una qualsiasi sollecitazione di ingresso. Sia \mathbf{Z} un operatore che riassume tutte le operazioni che il sistema può compiere sulla sollecitazione di ingresso \mathbf{u}_{in}(t). Allora la relazione che lega ingresso ed uscita di un sistema è in generale:

\mathbf{u}_{out}(t) = \mathbf Z (\mathbf{u}_{in}(t))

I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:

\mathbf Z (\mathbf{u}_{in_1} + \mathbf{u}_{in_2}) = \mathbf{Z} (\mathbf{u}_{in_1}) + \mathbf Z (\mathbf{u}_{in_2}) \qquad \mathbf Z (c \mathbf{u}_{in}) = c \mathbf{Z} (\mathbf{u}_{in})

dove c è un numero arbitrario.

Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo invarianti, anche detti stazionari o statici.

Descrizionemodifica | modifica sorgente

In un sistema dinamico lineare la variazione del vettore colonna di stato \mathbf{x}, ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione N, è pari alla moltiplicazione della matrice quadrata \mathbf{A} con \mathbf{x}. Se \mathbf{x} varia in maniera continua si ha che la sua derivata temporale 
\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) 

è

\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = \mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{x}(t)

mentre se assume valori discreti:


\mathbf{x}_{m+1} = \mathbf{A}_{m} \cdot \mathbf{x}_{m}

Tali relazioni sono lineari in quanto se \mathbf{x}(t) e \mathbf{y}(t) sono valide soluzioni, allora lo è anche ogni loro combinazione lineare:

\mathbf{z}(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \alpha \mathbf{x}(t) + \beta \mathbf{y}(t)

con \alpha e \beta scalari.

Sistemi lineari tempo-invariantimodifica | modifica sorgente

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sistema dinamico lineare stazionario.

Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Il processo fisico di cui il sistema è il modello matematico, pertanto, è un sistema di equazioni differenziali, derivate rispetto al tempo, a coefficienti costanti:

\frac{d \mathbf{x}(t)}{dt}=\, \mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{x_0}, \mathbf{u}(t)) \qquad \mathbf{y}(t)=\,\mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{x_0}, \mathbf{u}(t))

dove \mathbf{x}(t), \mathbf{x_0}, \mathbf{u}(t) e \mathbf{y}(t) sono vettori colonna.

Nello specifico, il vettore \mathbf{x}(t) rappresenta le variabili di stato in funzione del tempo t, che in generale non possono essere fissate né osservate direttamente, il vettore \mathbf{x_0} rappresenta le variabili di stato all'istante iniziale t_0, \mathbf{u}(t) sono gli ingressi, cioè le variabili su cui si agisce per modificare l'andamento o traiettoria dello stato, e \mathbf{y}(t) sono le uscite, cioè le variabili misurate da cui si deduce, a seconda delle caratteristiche di osservabilità del sistema, il valore o la stima dello stato. Ci possono essere particolari variabili di ingresso, dette disturbi o rumori, su cui non si può agire in alcun modo. Il termine d\mathbf{x}(t) / dt è inoltre la derivata in t di \mathbf{x}(t), e le funzioni \mathbf{f} e \mathbf{h} non dipendono direttamente da t.

Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso:

\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=A(t)\mathbf{x}(t)+B(t)\mathbf{u}(t) \qquad \mathbf{y}(t)=C(t)\mathbf{x}(t)+D(t)\mathbf{u}(t)

dove A, B, C e D sono matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano \mathbf{x}(t) e \mathbf{u}(t).

Il processo LTI è dunque descritto da equazioni matriciali lineari, in cui A, B, C e D non sono funzione del tempo:

\left\{\begin{matrix} \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=A\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}u(t)\\\mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t)\end{matrix} \right.\,

con \mathbf{x}(t) vettore di dimensione n, \mathbf{u}(t) vettore di dimensione q, \mathbf{y}(t) vettore di dimensione p, A matrice di dimensione n \times n, B matrice di dimensione n \times q, C matrice di dimensione p \times n e D matrice matrice di dimensione p \times q.

Soluzione di un sistema dinamico lineare tempo-invariantemodifica | modifica sorgente

Se il vettore iniziale \mathbf{x}_{0} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{x}(t=0) è allineato con un autovettore destro \mathbf{r}_{k} di \mathbf{A}, allora:


\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = 
\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{r}_{k}

con \lambda_{k} l'autovalore corrispondente. La soluzione è:


\mathbf{x}(t) = 
\mathbf{r}_{k} e^{\lambda_{k} t}

come si verifica per sostituzione. 
 e^{\lambda_{k} t}
è l'esponenziale di 
\lambda_{k} t

Se \mathbf{A} è diagonalizzabile, ogni vettore di dimensione N può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro \mathbf{r}_{k} e sinistro \mathbf{l}_{k} di \mathbf{A}:


\mathbf{x}_{0} = 
\sum_{k=1}^{N} 
\left( \mathbf{l}_{k} \cdot \mathbf{x}_{0} \right)
\mathbf{r}_{k}

Dunque, la soluzione generale \mathbf{x}(t) è la combinazione lineare:


\mathbf{x}(t) = 
\sum_{k=1}^{n} 
\left( \mathbf{l}_{k} \cdot \mathbf{x}_{0} \right)
\mathbf{r}_{k} e^{\lambda_{k} t}

e considerazioni analoghe valgono per il caso discreto.

In due dimensionimodifica | modifica sorgente

Classificazione di un punto fisso in funzione di determinante e traccia della matrice jacobiana.

Dato il sistema in due dimensioni:


\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t)

il polinomio caratteristico ha la forma:

\det(A - \lambda I) = \lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0

con \tau la traccia e \Delta il determinante di A. Le radici \lambda_n sono gli autovalori di A, ed hanno la forma:

\lambda_1=\frac{\tau+\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2} \qquad \lambda_2=\frac{\tau-\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}

Si nota che \Delta=\lambda_1\lambda_2 e \tau=\lambda_1+\lambda_2, sicché se \Delta<0 gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece \Delta>0 gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se \tau>0 sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se \tau<0 sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).

Esempiomodifica | modifica sorgente

L'esempio più semplice è quello dei circuiti RC ed RL che sono del primo ordine e RLC che è del secondo ordine. Vediamo l'esempio con il circuito RC. Il circuito è formato da un generatore di tensione che genera un segnale di ingresso V_{in}(t), che può essere ad esempio un segnale sinusoidale, e da un resistore in serie ad un condensatore. La risposta del circuito può essere la tensione ai capi di C: V_{out}(t) = v_C (t). La legge di Kirchhoff delle tensioni all'unica maglia:

R \cdot i(t) + V_{out}(t) = V_{in}(t)

ora usando la relazione caratteristica del condensatore, la corrente che scorre nel circuito è:

i(t) = C \frac{d}{dt} V_{out}(t)

e sostituendo questa:

RC \frac{d}{dt} V_{out} + V_{out} = V_{in}

che come volevasi dimostrare non è che un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo \tau = RC.

Bibliografiamodifica | modifica sorgente

  • (EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007. ISBN 0-13-041207-4.
  • (EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009. ISBN 0-691-14021-9.
  • E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
  • A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.

Voci correlatemodifica | modifica sorgente








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