Raíz cúbica

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Representación gráfica de la función: y = \sqrt[3]{x}

La raíz cúbica es el resultado de la operación de radicación con índice 3. La radicación cúbica es la función inversa de la función real cubo.1

La operación de calcular la raíz cúbica de un número real admite la composición de funciones con la potenciación de un número real, con restricciones, y posee la distributiva con la multiplicación y división, pero no es asociativa ni distributiva con la suma o la resta.

Históricamente, un problema de carácter social, plantéo la solución a través de la raíz cúbica de dos; ese fue el famoso problema de la duplicación del cubo, estudiado por Arquitas de Tarento. Cosa que no se resolvió con la aritmética de los racionales ni la construcción geométrica a través de compás y regla2

Definición formaleditar

La raíz cúbica de un número x es el número y que satisface la igualdad3

y^3 = x\,. La raíz cúbica, algebraicamente, es una operación unaria en ℝ4

Números realeseditar

Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica de x es representada igualmente por aquí mismo:

\sqrt[3]{x} = x^{1\over3}

Si x e y son ambos complejos, entonces se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así x tiene tres raíces cúbicas: una raíz real y dos complejas, en la forma de par conjugado. Este hecho deja interesantes resultados dentro de las matemáticas.

Por ejemplo, las raíces cúbicas del número uno son:

\sqrt[3]{1} = \begin{cases} \ \ 1 \\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}

Estas dos raíces se relacionan con todas las otras raíces cúbicas de otros números. Si un número es raíz cúbica de un número real las raíces cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raíces de la raíz cúbica de uno.

Números complejoseditar

Para los números complejos, el valor principal de las raíces cúbicas se define como:

x = r \exp(i \theta)\,

Donde r es un número real positivo y \theta cae en el rango:

-\pi < \theta \le \pi,

entonces la raíz cúbica es

\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left( {i\theta \over 3} \right).

Esto significa que en coordenadas polares al tomar la raíz cúbica de un número complejo se está tomando la raíz cúbica del radio y el ángulo polar se está dividiendo en tres partes de tal forma que define las tres raíces. Con esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número complejo, y por ejemplo \sqrt[3]{-8} no será -2, sino 1 + i\sqrt{3}. En aquellos programas que aceptan resultados imaginarios (tales como Mathematica), el grafo de la raíz cúbica de x en el plano de los números reales dará como resultados valores negativos de la raíz por igual.

Modalidades de cálculoeditar

  • Para calcular la raíz cúbica de un entero positivo existe un procedimiento largo y prescriptivo, que casi ya no se usa.
  • También se ha usado la regla de cálculo.
  • Las propiedades de logaritmos y una tabla de ellos
  • La representación de la función cúbica, representada en papel milimétrico.
  • El Teorema del binomio con exponente igual a 1/3
  • Por la aproximación de Newton, usa derivada
  • Algoritmo de análisis numérico.
  • Calculadoras científicas5

La raíz cúbica en una calculadora de manoeditar

Procedente de la siguiente identidad:

\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots,

es decir, definido por la productoria:

\frac{1}{3} = \left(\frac{1}{2^2}\right) \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{1}{2^{2^n}}\right),

existe un método simple para poder calcular la raíz cúbica de un número en una calculadora no-científica, la cual requiere sólo las operaciones aritméticas de multiplicación y raíz cuadrada. No se requiere además la memoria. Se describe a continuación:

  • Presiona el botón de raíz cuadrada, una vez.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada dos veces.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada cuatro veces.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada ocho veces.
  • Presiona el botón de multiplicación...

El proceso se continúa hasta que el número que hay en la pantalla permanece sin cambiar en la pantalla, esto es así debido a que tiene que aparecer 1 o un número tal que 0,9999999... (esto significa que se ha llegado al límite de la precisión de la calculadora). En este momento se presiona el botón de raíz cuadrada una vez más y el número que aparece en la pantalla corresponderá la mejor aproximación que la calculadora puede proporcionar de la raíz cúbica del número original. Al calcular la raíz cuadrada al principio y otra al final del algoritmo, se obtiene un menor error relativo que apretando dos veces el botón de raíz cuadrada al principio. En el método anterior si se reemplaza la primera multiplicación por una división, sin modificar el resto del algoritmo, en lugar de averiguar la raíz cúbica se averigua la raíz quinta.

Raíz cúbica de una matrizeditar

Raíces cúbicas de la unidadeditar

1 tiene tres raíces cúbicas: \left\{ 1, w = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2},v = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} ,

Los números s = a + bw +cv, donde wv =1, w2 = v y v2 = w; además a, b y c son números racionales, con la adición y la multiplicación forman un cuerpo conmutativo.6 0 y 1 son los elementos neutros de la adición y multiplicación respectivamente.

Notas y referenciaseditar

  1. Leithold: "El Cálculo"
  2. Rey Pastor. Babini: "Historia de la matemática"
  3. Ubicarse para este caso en ℝ
  4. Dubreil: "Algebra Moderna"
  5. Conte- De Boor: Análisis numérico
  6. Carlos Vega: "Temas de álgebra", Editorial San Marcos, Lima (1990)

Véase tambiéneditar

Enlaces externoseditar

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