Radian

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Radian
Informations
Système Unités dérivées du système international
Unité de... Angle plan
Symbole rad

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du système international qui mesure les angles plans.

Définitionmodifier | modifier le code

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Définition de l'angle en radians

Un angle de 1 rad intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π rad, appelé angle plein (de valeur 2π).

Concrètement, un radian vaut environ 57,3° (360°/2π). Cet angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.

Caractéristiquesmodifier | modifier le code

Autre caractéristique précieuse du radian : pour des angles \theta d'une valeur inférieure à 0,1 radian ou 5,5 grades ou 5 degrés, l'approximation suivante est valable à 1 % près :

\sin(\theta) \approx \tan(\theta) \approx \theta.

Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.

Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm.

\theta_{rad} \approx \ {1 \over 57{,}3}

De façon générale, pour les angles inférieurs à 3° :

\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 57{,}3}

Relations entre grades, degrés et radiansmodifier | modifier le code

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

\theta_{gra} = \theta_{rad} \cdot {200 \over \pi}
\theta_{rad} = \theta_{gra} \cdot {\pi \over 200}.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot {180 \over \pi}
\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot {\pi \over 180}.

Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :

nom de l'angle valeur en radians valeur en grades valeur en degrés
angle nul 0 rad 0 gon
milliradian 1 mrad 0,063 661 977 gon 0° 3′ 26″ 16‴
π/6 rad 33,333 333 gon 30°
π/4 rad 50 gon 45°
radian 1 rad 63,661 977 gon 57° 17′ 44″ 48‴
π/3 rad 66,666 666 gon 60°
angle droit π/2 rad 100 gon 90°
2π/3 rad 133,333 333 gon 120°
3π/4 rad 150 gon 135°
angle plat π rad 200 gon 180°
5π/4 rad 250 gon 225°
3π/2 rad 300 gon 270°
7π/4 rad 350 gon 315°
angle plein 2π rad 400 gon 360°

Notes et référencesmodifier | modifier le code

Annexesmodifier | modifier le code

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Articles connexesmodifier | modifier le code








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