Calcolo mentale

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Copertina

Svolgere alcuni calcoli matematici usando solo il proprio cervello può talvolta sembrare difficile.
Questo piccolo manuale vuole proporre alcune tecniche e metodi che possono facilitare di molto queste operazioni.

modifica Addizioni

Quando si devono addizionare molti numeri piccoli, è comodo riunirli per formare dei multipli di 10.

modifica Esempio

Per esempio dovendo svolgere 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8, conviene scriverlo (3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45.
Si tratta semplicemente delle proprietà commutativa e associativa dell'addizione.

modifica Sottrazioni

Conviene partire dal numero più piccolo e aggiungere man mano cercando di raggiungere dei valori più semplici (per esempio divisibili per 10) fino a quando non si ottiene l'altro numero.

modifica Esempio

Per esempio, per sottrare 67 da 213 si parte dal numero più piccolo, 67, e si aggiunge 3, 30, 100 e 13.
Così da 67 si passerebbe a 70, poi 100, 200, e 213 - sommando i numeri che abbiamo usato vediamo che il risultato è 146.

modifica Moltiplicazioni

Moltiplicando è molto importante scegliere le somme più semplici.

modifica Esempio

Per esempio $251 \times 325$ può sembrare una moltiplicazione piuttosto difficile, ma più facile se scritta come $(251 \times 5) + (251 \times 20) + (251 \times 300)$ , o anche, in maniera più essenziale, come $(251 \times 300) + (251 \times 25)$ o meglio come $(251 \times 300)+251 \times 100/4$ .

modifica Fattorizzare

Se uno o più numeri sono facilmente divisibili, si può rendere il tutto più semplice. Per esempio $72 \times 39$ può sembrare difficile, mentalmente, ma come $8 \times 9 \times 3 \times 13$ diventa più gestibile.

Per prima cosa, metti in ordine i numeri dal più difficile da moltiplicare all'ultimo. Poi esegui le moltiplicazioni una alla volta.

$13 \times 8 = 10 \times 8 + 3 \times 8 = 80 + 24 = 104$
$104 \times 9 = 936$
$936 \times 3 = 2808$

modifica Prime cifre uguali, seconde cifre hanno somma 10

Se i numeri soddisfano questa condizioni, si può usare una tecnica molto semplice:

Moltiplichiamo la prima cifra per se stessa più 1.
Moltiplichiamo fra di loro le seconde cifre.
Mettiamo il secondo prodotto alla destra del primo per ottenere la soluzione.

Esempio: $98 \times 92$

$9 \times 10 = 90$
$8 \times 2 = 16$
$9016\$

modifica Fattori appena sopra 100

Se i numeri sono di poco superiori a 100 e le ultime due cifre di entrambi danno un prodotto inferiore a 100, possiamo usare un'altra tecnica.

Esempio

$103 \times 124$ test: $3 \times 24 = 72$ , che è minore di 100, quindi questa tecnica può essere usata.
$117 \times 112$ test: $17 \times 12 = 204$ , che è maggiore di 100, e quindi la tecnica non può essere usata.

Se questo test da esito positivo (prodotto ultime due cifre < 100), allora il risultato della moltiplicazione sarà uguale a...

1[somma delle due ultime cifre][prodotto delle ultime due cifre]
Esempi

$108 \times 109$ = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11.772
$105 \times 115$ = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12.075
$132 \times 103$ = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13.596

Per numeri appena sopra 200, 300, 400 e così via la formula è un po' più complessa:

[prodotto prime cifre][(somma ultime due cifre] $\times$ prima cifra][prodotto ultime due cifre]

Esempi

215 $\times$ 204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43.860
417 $\times$ 403 = [4x4][(17+3)x4][3x17] = [16][20x4][51] = [16][80][51] = 168.051

Per numeri appena sopra 1000, 2000, 3000 e cosi via, si fa così:

[prodotto prime cifre]0[(somma ultime due cifre) $\times$ prima cifra]0[prodotto ultime due cifre]

Esempi:

2.008 $\times$ 2.009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4.034.072
3.005 $\times$ 3.007 = [3x3]0[(5+7)x3]0[7x5] = [9]0[12 $\times$ 3]0[35] = [9]0[36]0[35] = 9.036.035
5.004 $\times$ 5.006 = [5x5]0[(4+6)x5]0[6x4] = [25]0[10x5]0[24] = [25]0[50]0[24] = 25.050.024

modifica Verticale e diagonale

Se i moltiplicatori non hanno più di due cifre ciascuno, si può usare questa tecnica.

Essendo la moltiplicazione $AB \times CD$ , e facendo un esempio con $38 \times 25$ , il prodotto viene formato così:

unità: prodotto delle unità dei moltiplicatori, quindi $B \times D = 8 \times 5 = 40$ , che diventa 0 unità con 4 decine di riporto.
decine: somma dei prodotti diagonali, decine del primo moltiplicatore per unità del secondo e viceversa, quindi AD + BC, cioè $3 \times 5 + 8 \times 2 = 15 + 16 = 31$ , +4 per il riporto = 35 che si scrive come 5 con 3 centinaia di riporto.
centinaia: prodotto delle decine dei moltiplicatori, quindi $A \times C = 3 \times 2 = 6$ , +3 per il riporto = 9.

La soluzione in questo esempio sarà 950.

La tecnica è quindi:

A B x
C D =
-----
(A C) 100 + (AD + BC) 10 + (B D).

Da questo si capisce anche l'origine del nome.

modifica Elevare al quadrato

Questa tecnica può rilevarsi utile per numeri vicino alle potenze di 10:

Scegliere un numero da quadrare.
Scegliere una base, ovvero una potenza di 10 il più possibile vicina al numero.
Notare la differenza fra il numero da quadrare e la base.
Aggiungere questa differenza al numero e moltiplicare il risultato per la base.
Elevare al quadrato la differenza di prima, sommarla al numero di sopra.
Quello ottenuto è il numero al quadrato.

modifica Esempi

Numero da quadrare: 17
1. Base: 10 ( $101$ )
2. Differenza fra 17 e 10: 7
3. Aggiungere 7 a 17 (=24), moltiplicare per 10: = 240
4. Elevare al quadrato 7 e sommarlo a 240: (49 + 240) = 289
Numero da quadrare: 98
1. Base: 100 ( $102$ )
2. Differenza fra 98 e 100: -2
3. Aggiungere -2 a 98 (=96), moltiplicare per 100: $(96 \times 100)$ = 9.600
4. Elevare al quadrato -2 e sommarlo a 9600: (4 + 9.600) = 9.604

modifica Quadrati di numero con 5 come ultima cifra

Prendere il numero formato dalle cifre prima di questo ultimo 5.
Sommargli il suo quadrato e porre 25 alla sua destra.

modifica Esempi

$352$ = ((3 $\times$ 3)+3)25 = 1.225
$752$ = ((7 $\times$ 7)+7)25 = 5.625
$1152$ = ((11 $\times$ 11)+11)25 = 13225

modifica Variante

Un altro metodo (più semplice) è il seguente:

Si prende il numero delle decine e si moltiplica per il suo successivo.
Al risultato si aggiunge 25.

modifica Esempi

65² =
1. si prende il 6 e si moltiplica per il suo successivo che è 7 ottenendo $6 \times 7=42$
2. al numero 42 ottenuto si aggiunge 25 e si ottiene 4225 (che è $652$ )
Altro esempio: $95^2 = 9 \times 10 = 90$ ; a 90 aggiungo 25 e ottengo 9025 che è $952$

modifica Arrotondare

Una delle cose più facili è vedere se ci sono numeri che possono rendere il tutto più semplice.
Per esempio, dovendo svolgere 251 $\times$ 325, notiamo che il numero 251 è prossimo a 250. Quindi si può calcolare (325 $\times$ 250) + 325. Poiché 250 è 1/4 di 1.000, moltiplicare per 250 significa aggiungere tre zeri per poi dividere per 4, quindi abbiamo 325.000/4, che si può svolgere dimezzando 2 volte il numero, che diventa prima 162.500 e poi 81.250.
Aggiungendo il 325 di prima, abbiamo 81.575. Questo metodo può sembrare complicato, ma con un po' di pratica è molto più semplice che quello 'classico'.

modifica Divisioni

Ci sono molte possibili tecniche, quelle di seguito indicate sono solo alcune.
Tutti i numeri sono prodotti di numeri primi. Se si sta effettuando una divisione, si può sfruttare questa proprietà. Per esempio 100/24 è uguale a 100 diviso ( $2 \times 2 \times 2 \times 3$ ), è quindi si può svolgere dimezzando 100 per tre volte, per poi dividerlo per 3.
Ovviamente questo significa dover fare più passaggi, ma saranno comunque più semplici.
100/2 -> 50, /2 -> 25, /2 -> 12.5, /3 = ~4.16

Un'altra tecnica, quando devi prima moltiplicare e poi dividere, svolgi prima la divisione, magari scomponendola in più operazioni, e poi moltiplicare.
In questo modo eviti che i numeri diventino troppo grandi e quindi difficili da gestire.
Per esempio, dovendo svolgere $(18 \times 115)/15$ , è molto più comodo dividere 115 per 5(=23) e 18 per 3(=6).
Dividere entrambi i moltiplicandi per 5 e 3 è valido, perché 5 $\times$ 3 = 15.
A questo punto, moltiplicando 23 $\times$ 6, otteniamo 138, che è il quoziente di questa divisione.

modifica Stime veloci

Il metodo migliore per fare una stima mentale veloce di un calcolo e arrotondare a una o due cifre significative per poi utilizzare le operazioni tipiche.
Quindi 1.241 $\times$ 15.645 vale, in maniera approssimativa, come 1.200 $\times$ 16.000=19.200.000, che è un valore ragionevolmente vicino al prodotto corretto, 19.415.445.

Un metodo ancora più performante, consiste nell'utilizzare i logaritmi, che trasformano moltiplicazioni in addizioni, divisioni in sottrazioni, potenze e radici in moltiplicazioni e divisioni. Tuttavia tale tecnica richiede la conoscenza delle tavole logaritmiche e dei relativi metodi.

modifica Altre tecniche di calcolo mentale

Una delle tecniche più utili è la memorizzazione.
Può sembrare una perdita di tempo memorizzare alcuni valori matematici, come quadrati e cubi perfetti, fattorizzazioni prime o equivalente decimali di frazioni(come 1/7 = 0,1428...), ma questo può aumentare di molto la propria velocità di calcolo.
Per esempio, risolvere 1024/32 è molto facile se si sa che è la stessa cosa di $\frac {2^{10}} {2^5}$ , che per le proprietà delle potenze ci da $25 = 32$ .

Il modo migliore per memorizzare questi valori è usarli costantemente, ed è quindi evidente che la pratica e l'esercizio sono fondamentali.

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Indice

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