Divisão

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Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por um elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

Propriedades importanteseditar | editar código-fonte

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Nos números inteiroseditar | editar código-fonte

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo1 ) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor1 ). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com b \ge a), o quociente1 da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que aq \le b. O resto1 da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que r = a - bq.

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Nos números racionais, reais e em outros corposeditar | editar código-fonte

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional  q_1 = \frac{a}{b} por q_2 =\frac{c}{d} (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

\frac{q_1}{q_2} = q_1 \ q_2^{-1} = \frac{a}{b} \ \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

Em  \mathbb{Z}_{13} (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

 \frac{7}{5} = 7 . 5^{-1} = 7 . 8 = 4

Divisão de polinômioseditar | editar código-fonte

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto.2 Veja divisão polinomial.

Em estruturas mais geraiseditar | editar código-fonte

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Representaçãoeditar | editar código-fonte

Existem algumas formas de se representar uma divisão:

Notas e referências

  1. a b c d Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 39
  2. Serrasqueiro (1906), p. 35-37

Referênciaseditar | editar código-fonte

  • Vianna, João José Luiz. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.
  • Serrasqueiro, José Adelino. Tratado de Algebra Elementar. 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires, 1906.

Ver tambémeditar | editar código-fonte

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