Esfera

Uma esfera.

 Nota: Para outros significados, veja Esfera (desambiguação).

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto a geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.

Área e volume

semi-esfera

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:

$\!A = 4\pi r^2$

O volume de uma esfera é dado pela fórmula

$\!V = \frac{4}{3}\pi r^3$

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x segmento esférico

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

$Ac = 2 \pi \cdot r \cdot h$

Área do Segmento Esférico:

$As = At - Ac$

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

O volume do segmento é:

$V = {\pi \cdot h^2 \over 3} \cdot (3 \cdot R - h)$

Fuso x cunha

Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "goma de mexirica" (metaforicamente).

Área do fuso:

$Af = {\alpha \over 360} \cdot 4 \pi \cdot r^2$

$\alpha$ é o ângulo do fuso.

O volume da cunha é:

$Vc = {\alpha \over 360} \cdot {4 \over 3} \cdot \pi r^3$

Volume

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

$\!\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.$

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

$\!V_{\frac{1}{2}} \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.$

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

$\!V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi y^2 dx.$

Num dado x, um triângulo retângulo conecta x, y e r à origem, e pelo teorema de Pitágoras:

$\!r^2 = x^2 + y^2.$

Substituindo y:

$\!V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi (r^2 - x^2)dx.$

Calculando o integral:

$\!V_{\frac{1}{2}} = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.$

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

$\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.$

Área

Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado:

$\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_{0}^{r}A(r) dr.$

Derivando os dois lados da equação em relação a r:

$\!4\pi r^2 = A(r).$

Que pode ser abreviada como:

$\!A = 4\pi r^2.$

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

$dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi.$

Portanto a área total será:

$A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.$

Equação da esfera em R³

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x₀, y₀, z₀) e raio r é o lugar geométrico tal que:

$\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.$

Na forma parametrizada

$\, x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi$

$\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \theta \leq \pi ) \,$

$\, z = z_0 + r \cos \theta \,$

Ver também

• Esfera tridimensional

Ligações externas

• Livro Cônicas e Quádricas: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 246 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.